Diffusion 模型基本原理
本文介绍 Diffusion 模型的基本原理，帮助你理解训练框架是如何构建的。为了让读者更轻松地理解这些复杂的数学理论，我们重构了 Diffusion 模型的理论框架，抛弃了复杂的随机微分方程，用一种更简洁易懂的形式进行介绍。
引言
Diffusion 模型通过多步迭代式地去噪（denoise）生成清晰的图像或视频内容，我们从一个数据样本 \(x_0\) 的生成过程开始讲起。直观地，在完整的一轮 denoise 过程中，我们从随机高斯噪声 \(x_T\) 开始，通过迭代依次得到 \(x_{T-1}\)、\(x_{T-2}\)、\(x_{T-3}\)、\(\cdots\)，在每一步中逐渐减少噪声含量，最终得到不含噪声的数据样本 \(x_0\)。
这个过程是很直观的，但如果要理解其中的细节，我们就需要回答这几个问题：
每一步的噪声含量是如何定义的？
迭代去噪的计算是如何进行的？
如何训练这样的 Diffusion 模型？
现代 Diffusion 模型的架构是什么样的？
本项目如何封装和实现模型训练？
每一步的噪声含量是如何定义的？
在 Diffusion 模型的理论体系中，噪声的含量是由一系列参数 \(\sigma_T\)、\(\sigma_{T-1}\)、\(\sigma_{T-2}\)、\(\cdots\)、\(\sigma_0\) 决定的。其中
\(\sigma_T=1\)，对应的 \(x_T\) 为纯粹的高斯噪声
\(\sigma_T>\sigma_{T-1}>\sigma_{T-2}>\cdots>x_0\)，在迭代过程中噪声含量逐渐减小
\(\sigma_0=0\)，对应的 \(x_0\) 为不含任何噪声的数据样本
至于中间 \(\sigma_{T-1}\)、\(\sigma_{T-2}\)、\(\cdots\)、\(\sigma_1\) 的数值，则不是固定的，满足递减的条件即可。
那么在中间的某一步，我们可以直接合成含噪声的数据样本 \(x_t=(1-\sigma_t)x_0+\sigma_t x_T\)。
迭代去噪的计算是如何进行的？
在理解迭代去噪的计算前，我们要先搞清楚，去噪模型的输入和输出是什么。我们把模型抽象成一个符号 \(\hat \epsilon\)，它的输入通常包含三部分
时间步 \(t\)，模型需要理解当前处于去噪过程的哪个阶段
含噪声的数据样本 \(x_t\)，模型需要理解要对什么数据进行去噪
引导条件 \(c\)，模型需要理解要通过去噪生成什么样的数据样本
其中，引导条件 \(c\) 是新引入的参数，它是由用户输入的，可以是用于描述图像内容的文本，也可以是用于勾勒图像结构的线稿图。
而模型的输出 \(\hat \epsilon(x_t,c,t)\)，则近似地等于 \(x_T-x_0\)，也就是整个扩散过程（去噪过程的反向过程）的方向。
接下来我们分析一步迭代中发生的计算，在时间步 \(t\)，模型通过计算得到近似的 \(x_T-x_0\) 后，我们计算下一步的 \(x_{t-1}\)：
完美！与时间步 \(t-1\) 时的噪声含量定义完美契合。
（这部分可能有点难懂，请不必担心，首次阅读本文时建议跳过这部分，不影响后文的阅读。）
完成了这段有点复杂的公式推导后，我们思考一个问题，为什么模型的输出要近似地等于 \(x_T-x_0\) 呢？可以设定成其他值吗？
实际上，Diffusion 模型依赖两个定义形成完备的理论。在以上的公式中，我们可以提炼出这两个定义，并导出迭代公式：
数据定义：\(x_t=(1-\sigma_t)x_0+\sigma_t x_T\)
模型定义：\(\hat \epsilon(x_t,c,t)=x_T-x_0\)
导出迭代公式：\(x_{t-1}=x_t + (\sigma_{t-1} - \sigma_t) \cdot \hat \epsilon(x_t,c,t)\)
这三个数学公式是完备的，例如在刚才的推导中，我们把数据定义和模型定义代入迭代公式，可以得到与数据定义吻合的 \(x_{t-1}\)。
这是基于 Flow Matching 理论构建的两个定义，但 Diffusion 模型也可用其他的两个定义来实现，例如早期基于 DDPM（Denoising Diffusion Probabilistic Models）的模型，其两个定义及导出的迭代公式为：
数据定义：\(x_t=\sqrt{\alpha_t}x_0+\sqrt{1-\alpha_t}x_T\)
模型定义：\(\hat \epsilon(x_t,c,t)=x_T\)
导出迭代公式：\(x_{t-1}=\sqrt{\alpha_{t-1}}\left(\frac{x_t-\sqrt{1-\alpha_t}\hat \epsilon(x_t,c,t)}{\sqrt{\sigma_t}}\right)+\sqrt{1-\alpha_{t-1}}\hat \epsilon(x_t,c,t)\)
更一般地，我们用矩阵描述迭代公式的导出过程，对于任意数据定义和模型定义，有：
数据定义：\(x_t=C_T(x_0,x_T)^T\)
模型定义：\(\hat \epsilon(x_t,c,t)=C_T^{[\epsilon]}(x_0,x_T)^T\)
导出迭代公式：\(x_{t-1}=C_{t-1}(C_t,C_t^{[\epsilon]})^{-T}(x_t,\hat \epsilon(x_t,c,t))^T\)
其中，\(C_t\)、\(C_t^{[\epsilon]}\) 是 \(1\times 2\) 的系数矩阵，不难发现，在构造两个定义时，需保证矩阵 \((C_t,C_t^{[\epsilon]})^T\) 是可逆的。
尽管 Flow Matching 与 DDPM 已被大量预训练模型广泛验证过，但这并不代表这是最优的方案，我们鼓励开发者设计新的 Diffusion 模型理论实现更好的训练效果。
如何训练这样的 Diffusion 模型？
搞清楚迭代去噪的过程之后，接下来我们考虑如何训练这样的 Diffusion 模型。
训练过程不同于生成过程，如果我们在训练过程中保留多步迭代，那么梯度需经过多步回传，带来的时间和空间复杂度是灾难性的。为了提高计算效率，我们在训练中随机选择某一时间步 \(t\) 进行训练。
以下是训练过程的伪代码
从数据集获取数据样本 \(x_0\) 和引导条件 \(c\)
随机采样时间步 \(t\in(0,T]\)
随机采样高斯噪声 \(x_T\in \mathcal N(O,I)\)
\(x_t=(1-\sigma_t)x_0+\sigma_t x_T\)
\(\hat \epsilon(x_t,c,t)\)
损失函数 \(\mathcal L=||\hat \epsilon(x_t,c,t)-(x_T-x_0)||_2^2\)
梯度回传并更新模型参数
现代 Diffusion 模型的架构是什么样的？
从理论到实践，还需要填充更多细节。现代 Diffusion 模型架构已经发展成熟，主流的架构沿用了 Latent Diffusion 所提出的“三段式”架构，包括数据编解码器、引导条件编码器、去噪模型三部分。
数据编解码器
在前文中，我们一直将 \(x_0\) 称为“数据样本”，而不是图像或视频，这是因为现代 Diffusion 模型通常不会直接在图像或视频上进行处理，而是用编码器（Encoder）-解码器（Decoder）架构的模型，通常是 VAE（Variational Auto-Encoders）模型，将图像或视频编码为 Embedding 张量，得到 \(x_0\)。
数据经过编码器编码后，再经过解码器解码，重建后的内容与原来近似地一致，会有少量误差。那么，为什么要在编码后的 Embedding 张量上处理，而不是在图像或视频上直接处理呢？主要原因有亮点：
编码的同时对数据进行了压缩，编码后处理的计算量更小。
编码后的数据分布与高斯分布更相似，更容易用去噪模型对数据进行建模。
在生成过程中，编码器部分不参与计算，迭代完成后，用解码器部分解码 \(x_0\) 即可得到清晰的图像或视频。在训练过程中，解码器部分不参与计算，仅编码器用于计算 \(x_0\)。
引导条件编码器
用户输入的引导条件 \(c\) 可能是复杂多样的，需要由专门的编码器模型将其处理成 Embedding 张量。按照引导条件的类型，我们把引导条件编码器分为以下几类：
文本类型，例如 CLIP、Qwen-VL
图像类型，例如 ControlNet、IP-Adapter
视频类型，例如 VAE
前文中的模型 \(\hat \epsilon\) 指代此处的所有引导条件编码器和去噪模型这一整体，我们把引导条件编码器单独拆分列出，因为这类模型在 Diffusion 训练中通常是冻结的，且输出值与时间步 \(t\) 无关，因此引导条件编码器的计算可以离线进行。
去噪模型
去噪模型是 Diffusion 模型真正的本体，其模型结构多种多样，例如 UNet、DiT，模型开发者可在此结构上自由发挥。
本项目如何封装和实现模型训练？
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